More fun with Fourier series

Antes que eu me esqueça, a famosa “Lei dos nomes das descobertas” que eu sempre me esqueço é a Lei dos epônimos de Stigler. O verbete da wikipedia resume bem:

Stigler’s law of eponymy is a process proposed by University of Chicago statistics professor Stephen Stigler in his 1980 publication “Stigler’s law of eponymy”. It states that no scientific discovery is named after its original discoverer. Examples include Hubble’s law which was derived by Georges Lemaître two years before Edwin Hubble, the Pythagorean theorem although it was known to Babylonian mathematicians before Pythagoras, and Halley’s comet which was observed by astronomers since at least 240 BC. Stigler himself named the sociologist Robert K. Merton as the discoverer of “Stigler’s law” to show that it follows its own decree.

Voltemos à diversão com as Séries de Fourier. Comecemos pelo problema do cálculo de \displaystyle \zeta(n) para \displaystyle n impar. Já vimos que a estratégia usada no T1 para \displaystyle n par não funciona. Porém, com pequenas modificações, conseguimos determinar somas muito parecidas a  \displaystyle \zeta(2n+1) . Por exemplo, da questão 2 do teste, sabemos que

\displaystyle  \frac{\pi^4}{4\cdot 3!}\left( \frac{x^4}{2} - {x^2} + \frac{7}{30} \right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}\cos k\pi x}{k^4}

Derivando-se ambos os lados, temos

\displaystyle  \frac{\pi^3}{2\cdot 3!}\left( {x^3} - {x}   \right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k}\sin k\pi x}{k^3}

Agora, escolhendo-se \displaystyle x=\frac{1}{2} , temos

\displaystyle  \frac{\pi^3}{32} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^3} = \frac{1}{1^3} -\frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \cdots

Quer dizer, não sabemos somar os inversos dos cubos, mas sabemos qual é a soma alternada do inverso dos cubos ímpares! E isto pode, claramente, ser estendido para qualquer potencia impar.

Um outro ponto que queria comentar é o relacionado à questão de um colega (Fernando) na aula de hoje. Seria possível definir alguma “série de Fourier” para a função \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} no intervalo, por exemplo, \displaystyle (0,1] ? Ora, uma série de Fourier autêntica esta função não deve ter, pois não é de quadrado integrável no intervalo em questão. Porém, é instrutivo examinar as seguintes integrais:

\displaystyle a_k = \int_0^1 \frac{\sin k\pi x}{x} \, dx = \int_0^{k\pi} \frac{\sin y}{y} \, dy = {\rm Si}\,(k\pi)

Estas integrais são todas finitas! Em outras palavras, podemos “projetar” a função \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} nas funções seno! A pergunta natural que surge agora é se a série

\displaystyle f^{(M)} = \sum_{k=1}^M{\rm Si}\,(k\pi) \sin k\pi x

converge para alguma coisa, e se esta coisa teria ou não alguma relação com \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} . Para isto, vamos recordar algumas propriedades da função seno integral  \displaystyle{\rm Si}\,(z) , uma provável conhecida de vocês do curso de variáveis complexas. Seu gráfico para argumento real é

Além disso, \displaystyle \lim_{x\to\infty} {\rm Si}\,(x) = \frac{\pi}{2} , que corresponde à famosa integral de Dirichlet. Seu comportamento assintótico para grandes \displaystyle  x é dado por (vejam, por exemplo, aqui):

\displaystyle{\rm Si}\,(x) \approx \frac{\pi}{2} - \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2}

Vamos agora escrever nossa série como

\displaystyle f^{(M)} = \underbrace{\sum_{k=1}^M a_k \sin k\pi x}_{g^{(M)}} + \frac{\pi}{2}\underbrace{\sum_{k=1}^M   \sin k\pi x}_{h^{(M)}}

com  \displaystyle a_k =  {\rm Si}\,(k\pi) - \frac{\pi}{2}. Notem que para grandes  \displaystyle  k , temos  \displaystyle  |a_k| \approx k^{-1} , o que garante a convergência na norma do \displaystyle   L^2[0,1] da primeira série. Mais que isso, já temos uma intuição acerca dessa função, ela deve ser contínua por partes. Resta a segunda série, que provavelmente vocês já perceberam que tem um aspecto muito suspeito. Não é difícil calcular essa soma

\displaystyle  \sum_{k=1}^M   \sin k\pi x = {\rm Im}\, \left( \sum_{k=1}^M   e^{i\pi x} \right) = {\rm Im}\, \left[ \frac{ie^{i\frac{\pi}{2}x}}{2\sin \frac{\pi}{2}x}\left( 1 - e^{iM\pi x}\right)\right]  

\displaystyle    = \frac{1}{2}\left[\left(1-\cos M\pi x\right){\rm cotan}\, \frac{\pi}{2}x +  \sin M\pi x \right] = h^{(M)} 

Essa seqüência de funções tem um limite um tanto esquisito. Notem que, para \displaystyle  M fixo,  \displaystyle h^{(M)}(x)=0 para \displaystyle x = \frac{2n}{M}\displaystyle n\in\mathbb{N} . Porém, é evidente que para \displaystyle x = \frac{2n+\frac{1}{2}}{M}  ,  \displaystyle h^{(M)}(x)\ne 0 . Ocorre que para grandes valores de  \displaystyle  M estes pontos podem estar arbitrariamente próximos. Em outras palavras, \displaystyle h^{(M)}(x)   não parece ser contínua em ponto nenhum! (Mais um exemplo para o bestiário de funções esquisitas).

Vamos agora tentar descobrir quem é a função \displaystyle g(x) = \lim_{M\to\infty}g^{(M)}(x)  , que deve existir e ser contínua por partes.  Em outras palavras, quem é a função cujos coeficientes da série de senos de Fourier é \displaystyle a_k = {\rm Si}\,(k\pi)-\frac{\pi}{2}  ? A função é esta (outro exercício interessante!):

\displaystyle    g(x) = \frac{1}{x} - \frac{\pi}{2}{\rm cotan}\, \frac{\pi}{2}x

Veja abaixo o aspecto desta função e da aproximação com os 10 primeiros termos em sua série de Fourier

Com isto, conseguimos finalmente escrever

\displaystyle \lim_{M\to\infty} f^{(M)} = \frac{1}{x}  +\lim_{M\to\infty} H^{(M)}

\displaystyle H^{(M)} =  - \left(\cos M\pi x\right) {\rm cotan}\,\frac{\pi}{2}x + \sin M\pi x

O limite \displaystyle \lim_{M\to\infty} f^{(M)}   tem duas partes: uma regular, a função  \displaystyle \frac{1}{x}   e a outra que não é contínua em ponto nenhum \displaystyle \lim_{M\to\infty} H^{(M)}  . É instrutivo, no entanto, examinarmos o gráfico de \displaystyle   f^{(M)}   para \displaystyle M   grande. Abaixo estão os casos   \displaystyle M=50   e \displaystyle M=100  , junto com o gráfico de \displaystyle \frac{1}{x}  

 

 

 

 

 

 

 

 

Apesar de não convergir, é evidente o “contorno” da função \displaystyle \frac{1}{x}   nos gráficos destas funções!

As funções curiosas e o cálculo da função zeta de números ímpares

Eu me esqueci de incluir o link para as “funções estranhas” que discutimos em aula. São três posts, 1, 2 e 3, de um curso antigo.

Porém, a principal motivação deste post é a nossa fonte de inspiração preferida: a função \displaystyle \zeta(z) de Riemann. Já comentamos que o valor  \displaystyle \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} foi calculado por Euler, no que ficou conhecido como problema da Basileia. No teste, vocês mostraram (espero! 🙂 ) que \displaystyle \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90} utilizando um procedimento que, em princípio, pode ser estendido para calcular o valor da função \displaystyle \zeta(z) para qualquer argumento par.  Para o caso dos ímpares, que parece a primeira vista muito semelhante ao que vocês fizeram, o problema é incrivelmente mais complicado! Há ainda vários problemas em aberto! Por exemplo, a irracionalidade de \displaystyle \zeta(3) foi demonstrada apenas recentemente por Apery (e agora este número se chama constante de Apery). Até onde sei, não se sabe se \displaystyle \zeta(2n+1) é irracional para todo  \displaystyle n, mas todas as apostas são de que são irracionais. Mais que isso, o número \displaystyle  \frac{\zeta(n)}{\pi^n} seria irracional para todo \displaystyle n impar, o que não ocorre, como vocês já viram, para \displaystyle n par.

Já temos condições de começar a apreciar as sutilezas que envolvem o caso dos ímpares. Poderíamos, por exemplo, tentar uma estratégia como a do teste, considerando a função

\displaystyle  f(x)= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}\cos k\pi x}{k^3}

Teríamos, por construção, \displaystyle  f(-1)=-\zeta(3) e poderíamos tentar repetir os passos do teste. Notem que neste caso temos

\displaystyle  \frac{d^2}{dx^2} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}\cos k\pi x}{k^3} = -\pi^2\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}\cos k\pi x}{k}

O problema é identificarmos a qual função \displaystyle g(x) corresponde a série de Fourier do lado direito. No caso do teste, era a função \displaystyle g(x)=x , o que permitia escrever \displaystyle f(x) como um polinômio, que em última instância nos permitia calcular  \displaystyle   \zeta(2n) . Se conseguirmos determinar explicitamente quem é \displaystyle g(x), podemos, em princípio, propor uma estratégia como a do teste para o cálculo de  \zeta(3) . Porém, ocorre que…. Ocorre que \displaystyle g(x)  não é um polinômio! Para determinarmos \displaystyle g(x), vamos considerar a seguinte função complexa (lembrem-se: entre deux vérités du domaine réel, le chemin le plus facile et le plus court passe bien souvent par le domaine complexe):

\displaystyle  G(z) = {\rm Log}\, (1+z) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3}- \frac{z^4}{4} \cdots

cuja série de Taylor converge absolutamente para todo \displaystyle |z|<1 . Como vocês verão, vamos precisar de \displaystyle G(z) exatamente sobre o círculo unitário, então vamos ter que analisar com um pouco mais de cuidado a série acima. Argumentos de continuidade e propriedades da função \displaystyle{\rm Log}\, (z)  já sugerem que a série deve convergir para todo \displaystyle z no círculo unitário, excetuando-se \displaystyle z = -1 . Isto pode ser provado a partir do Lema de Abel (ou “soma por partes”, em analogia à integração por partes) e, de fato, é dessas manipulações que obtemos o famoso resultado

\displaystyle  1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}- \frac{1}{4} \cdots  = \ln 2

Há farto material sobre isso, não iremos nos aprofundar agora. Por ora, notem que

\displaystyle  g(x) =\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}\cos k\pi x}{k}  =  {\rm Real}\, G(e^{i\pi x})

para todo \displaystyle x\in (-1,1). Notem que \displaystyle  1+e^{i\pi x} = \rho e^{i\theta}    , sendo \displaystyle \rho^2 =  2+2\cos\pi x   , de onde temos finalmente

\displaystyle  g(x) =   {\rm Real}\, G(e^{i\pi x}) = \frac{1}{2}\ln 2\left(1+\cos\pi x \right)

Por certo, um exercício muito interessante e razoavelmente desafiador é mostrar que

\displaystyle  \int_{-1}^1 g(x)\cos n\pi x = \frac{(-1)^{n+1}}{n}

alguem se habilita? 🙂  O aspecto da função  \displaystyle g(x)  é mostrado abaixo, junto com sua aproximação utilizando-se 8 termos de sua série de Fourier. Nota-se, claramente, que a convergência é muito mais lenta que o exemplo do teste, cujos coeficientes decaiam como \displaystyle n^{-4}.

Bem, como vemos, a função \displaystyle g(x) é complicada o suficiente para afastar qualquer esperança de seguirmos a mesma estratégia dos pares… 😦  Nossa função \displaystyle f(x) é tal que

\displaystyle  f''(x) = -\frac{\pi^2}{2}\ln 2\left(1+\cos\pi x \right) 

e para determiná-la teríamos que integrar duas vezes \displaystyle g(x), que não tem primitiva elementar. Quer dizer, a estratégia do T1 NÃO FUNCIONA para os números impares, o que mostra que a situação aqui pode ser, e de fato é, muito mais complexa.

Por fim, indico o artigo abaixo que tem várias discussões interessantes sobre as séries de Fourier.

Fun With Fourier Series
Robert Baillie
https://arxiv.org/abs/0806.0150

 

Séries de Fourier e um recado sobre os testes

Neste semestre, os testes irão se iniciar sempre as 9h00. (a partir do T2).

O material da aula de hoje (Fenômeno de Gibbs) está aqui, com todos os detalhes de contas que não fiz. Vocês encontrarão também referências sobre os dispositivos “primitivos” que usavam para encontrar séries de Fourier, e a história da “interpretação” (errônea, é claro) do fenômeno de Gibbs como sendo um “defeito mecânico” destes dispositivos.

Os resultados “recentes” sobre convergência de séries de Fourier não são tão recentes assim, mas também não são da época do Fourier… 🙂 Têm cerca de 50 anos. O verbete da Wikipedia sobre o Teorema de Carleson tem referências uteis sobre o assunto.

Métodos II

Ola, o curso de Métodos II terá como canal básico para informações este blog. O formato é conhecido, é o mesmo utilizado em Métodos I. Por certo, o material de Métodos I continua arquivado aqui. Os posts estão abaixo, e as avaliações e notas estão aqui (ou clicando-se em Métodos I no menu). Ao lado (ou abaixo, se estiverem em um celular), na seção DATAS IMPORTANTES, estão as datas de todas as avaliações. Confiram e me avisem caso haja alguma dúvida. Uma vez começado o semestre, essas datas não poderão ser mudadas.

As aula começarão na quarta-feira, 2 de agosto. Até lá.

 

Ainda sobre o PSL e a equação de Prüfer

A equação de Prüfer

\displaystyle \theta' = \frac{1}{p}\cos^2\theta +\left(\lambda w - q \right) \sin^2\theta  

foi o ponto de partida fundamental para as análises do post anterior para os PSL regulares. Algumas estimativas simples sobre suas soluções nos proporcionarão resultados interessantes. Primeiro, vamos considerar a equação de Prüfer para o conhecido caso da partícula confinada no poço de potencial infinito. Neste caso, \displaystyle    p(x)=w(x)=1 \displaystyle    q(x)=0 , levando à equação

\displaystyle \theta' = \cos^2\theta + \lambda  \sin^2\theta ,

que tem solução exata, pois é separável:

\displaystyle \int_{\theta_0}^\theta \frac{ds}{\cos^2s + \lambda  \sin^2s} = x-x_0.

Esta integral é interessante, merece um minuto de atenção. Como toda integral racional de funções trigonométricas, a transformação \displaystyle   t = \tan s ,  \displaystyle   s\in \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) , em geral implica em simplificações. Levando-se em conta que

\displaystyle \sin^2 s = \frac{t^2}{t^2+1}, \quad\cos^2 s = \frac{1}{t^2+1} 

e

\displaystyle ds = \frac{dt}{t^2+1}

temos que a integral será

\displaystyle \int_{\tan{\theta_0}}^{\tan\theta} \frac{dt}{1 + \lambda  t^2} =  \frac{1}{\sqrt{\lambda}}\arctan \sqrt{\lambda}\tan \theta -\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\arctan \sqrt{\lambda}\tan \theta_0

de onde temos que a solução de nossa EDO para  \displaystyle  \theta\in \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) será

\displaystyle \tan\theta(x) = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}\tan \left( \sqrt{\lambda}(x-x_0) +\arctan \sqrt{\lambda}\tan \theta_0\right)  

Por simplicidade, vamos considerar o caso \displaystyle  x_0=\theta_0=0 . A solução sai da origem e quando \displaystyle  \sqrt{\lambda} x = \frac{\pi}{2} , saberemos que \displaystyle \theta(x)=\frac{\pi}{2}. E a partir dai? Bem, é fácil ver o que ocorre. A equação de Prüfer é invariante se fizermos a mudança \displaystyle   \theta \to \theta + \pi . Isto significa que o comportamento na região \displaystyle  \theta\in \left(  \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right) pode ser obtido transladando-se de \displaystyle \pi  o comportamento conhecido na faixa \displaystyle  \theta\in \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) . Em outras palavras, basta tomar \displaystyle  x_0=\frac{\pi}{2\sqrt{\lambda}} e \displaystyle  \theta_0=\frac{\pi}{2} em nossa integral.  Com isso, vemos que a solução coincide com a reta  \displaystyle  \sqrt{\lambda} x sempre que as linha horizontais \displaystyle  \theta = \frac{n\pi}{2} e \displaystyle  \theta = n\pi  forem cruzadas.

Bem, isto é tudo o que é necessário para se resolver todo o problema! Fica de exercício para as férias!

Porém, o mais interessante neste ponto é notar que a partícula no poço infinito de potencial pode ser usada para limitar inferiormente e superiormente o PSL com \displaystyle    p(x), w(x), q(x) arbitrários. É simples, basta considerar as  desigualdades

\displaystyle   a_1  +\left(\lambda b_1 - c_1 \right) \sin^2\theta \le \theta' \le  a_2  +\left(\lambda b_2 - c_2 \right) \sin^2\theta  

sendo

\displaystyle  a_1 = \min_{x\in[0,L]} \frac{1}{p(x)}, \quad  a_2 = \max_{x\in[0,L]} \frac{1}{p(x)}

\displaystyle  b_1 = \min_{x\in[0,L]} {w(x)}, \quad  b_2 = \max_{x\in[0,L]}  {w(x)}

\displaystyle  c_1 = \max_{x\in[0,L]} q(x)+\frac{1}{p(x)}, \quad  c_2 = \min_{x\in[0,L]}q(x)+\frac{1}{p(x)}

e considerar este caso de um poço de potencial infinito:

\displaystyle     \theta'  =   a  +\left(\lambda b - c \right) \sin^2\theta,  

Fica também como exercício de férias

O caso singular

Bem, obviamente o caso realmente relevante no contexto da mecânica quântica é o caso singular, para o qual a intuição com os PSL regulares não ajuda muito. C’est la vie. Primeiro, devemos entender que a “pequena” diferença de permitir que \displaystyle    p(x)   se anule nos extremos do problema não é, de fato, uma “pequena diferença”, mas algo muito mais profundo. Suponha, por exemplo, que vocês queiram resolver o problema

\displaystyle -\frac{d^2}{dx^2} y = \lambda y  

para \displaystyle x\in\mathbb{R}, i.e., ondas planas unidimensionais (deixemos, por ora, a questão das condições de contorno). A transformação \displaystyle w = \tanh x é tal que

\displaystyle \mathbb{R} \overset{\tanh }{\longrightarrow} (-1,1)  

e assim podemos passar a lidar com um intervalo limitado. Note, porém, que a equação agora fica

\displaystyle -\frac{d }{dw}\left((1-w^2)\frac{d }{dw}  y\right) = \frac{\lambda}{1-w^2} y,  

quer dizer, se insistirmos em definir o problema da onda plana em um intervalo limitado, acabamos caindo num PSL singular! Neste caso, com o agravante que o peso \displaystyle    w(x)   diverge nos extremos do problema.

Os PSL singulares apresentam gamas de comportamentos e propriedades muito mais ricas que os casos regulares. Provavelmente a maneira mais simples de introduzirmos os PSL singulares seja tomando o limite de um intervalo infinito em um PSL regular. Tomemos, por exemplo, o caso da partícula no poço de potencial infinito de comprimento L . Seus autovalores/autofunções são

\displaystyle \left(\frac{n^2\pi^2}{L^2}, \sin \frac{n\pi x}{L}\right)  

e a condição de contorno implícita é obviamente y(0)=y(L)=0 . Podemos transformar este problema do intervalo [0,L] num problema na semi-reta não negativa x\in [0,\infty) considerando formalmente o limite L\to \infty . Com isto, na prática, temos que os autovalores ficam cada vez mais próximos, e é razoável esperar que terminaremos com algo do tipo

\displaystyle \left(\lambda^2, \sin \lambda x\right)  

para qualquer \lambda real positivo, i.e., passamos a ter um espectro contínuo. Fisicamente, esta situação corresponde a uma partícula sujeita ao potencial de uma parede infinita em x=0 , mas completamente livre para x>0 , este é o significado da condição y(0)=0 (reflexão perfeita na parede). Como alguns já perceberam 🙂 , este simples problema esconde certas sutilezas, pois alguns operadores diferenciais que normalmente possuem uma interpretação física consistente na mecânica quântica não são auto-adjuntos neste caso.  Os interessados podem se aprofundar nestas questões durante as férias, qualquer dúvida, procurem-me.

O problema de Sturm-Liouville e as variáveis de Prüfer

Tudo o que você sempre quis saber sobre PSL e que dificilmente encontrará em seu livro de Mecânica Quântica

Já discutimos quase a exaustão os problemas de Sturm-Liuville, que correspondem a encontrar os pares (\lambda,u) de autovalores/autofunções soluções do seguinte problema de valor de contorno:

\displaystyle -\frac{d}{dx}\left( p(x) \frac{du}{dx}\right) +q(x) u = \lambda w(x) u

\displaystyle  \left\{  \begin{array}{l}    \alpha_1u(x_1) + \beta_1u'(x_1)= 0 \\    \alpha_2u(x_2) + \beta_2u'(x_2) = 0    \end{array}\right. 

(Todas as quantidades aqui são consideradas suficientemente suaves no intervalo pertinente.)  Já discutimos também a evidente relação entre os nossos PSL e os típicos problemas envolvendo a equação de Schrödinger independente do tempo. Consideramos especificamente os chamados PSL regulares, para os quais as funções p(x) e w(x) são positivas no intervalo [x_1,x_2] .  Derivamos uma série de propriedades interessantes das soluções do PSL como, por exemplo, que os autovalores \lambda são sempre reais, e que autofunções com autovalores diferentes são ortogonais com respeito ao produto interno dado por

\displaystyle \left\langle u_1,u_2 \right\rangle = \int_{x_1}^{x_2} \bar{u}_1 u_2w(x) dx,

dentre outras. Todas estas propriedades envolvem basicamente manipulações algébricas do operador de SL, explorando o fato deste ser auto-adjunto. Há, porém, outras propriedades importantes do PSL que são fundamentais na Mecânica Quântica. Dificilmente os textos (e cursos) de Mecânica Quântica discutem os fundamentos matemáticos estas propriedades, e este post tenta cobrir essa lacuna. Estas propriedades, em linguagem de Mecânica Quântica, são:

  1. Existe um estado fundamental (\lambda_0,u_0),  o estado de menor autovalor.
  2. O PSL admite infinitas soluções, que são de caráter discreto e podem ser ordenadas de acordo com seus autovalores, os quais são todos diferentes.
  3. Cada autofunção pode ser completamente caracterizada pelo seu número de nós (zeros no intervalo  (x_1,x_2) ), e o ordenamento pelo número de nós é equivalente ao ordenamento pelos autovalores. Em particular, o estado fundamental não  tem nenhum nó.

Em geral, estas propriedades se tornam intuitivas na Mecânica Quântica a partir de casos exatamente solúveis como, por exemplo, o conhecido problema da partícula confinada em um poço de potencial infinito. Numa linguagem um pouco mais cuidadosa, estas propriedades podem ser condensadas na afirmação que o PSL em questão tem um conjunto enumerável de soluções (pares autovalor/autofunção) (\lambda_n,u_n), n=0,1,2,\dots , cujo espectro (conjunto de autovalores) é limitado inferiormente e

\displaystyle \lambda_0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \cdots

Além disso, a autofunção  u_n tem exatamente n zeros no intervalo (x_1,x_2) .

Iremos provar estas propriedades para qualquer PSL regular. Em outras palavras, mostraremos que a intuição obtida a partir do problema da partícula no poço infinito é boa, pois na prática vale para qualquer potencial (de fato, para qualquer operador diferencial auto-adjunto) em intervalos compactos.  A prova, como sempre, será “construtiva”. Vamos explorar as chamadas variáveis de Prüfer.

As varíaveis de Prüfer

Por simplicidade (não há, de fato, grande perda de generalidade), vamos considerar o caso em que   x_1 = 0 x_2 = L \beta_1 = \beta_2 = 0 . Estamos, portanto, considerando o PSL com condições de contorno

\displaystyle u(0)  = u(L)= 0  

A equação de Sturm-Liouville é uma EDO linear de segunda ordem. Vamos escrevê-la como

\displaystyle \frac{d}{dx}\left( p(x) \frac{du}{dx}\right) +Q_\lambda (x) u = 0

sendo \displaystyle  Q_\lambda (x)  = \lambda w(x) - q(x) . Como qualquer EDO (linear) de segunda ordem,  seu espaço de fase é bi-dimensional e naturalmente parametrizado por (u(x), u'(x) ) .  As variáveis de Prüfer são semelhantes a coordenadas polares (r(x), \theta(x) ) para o espaço de fase. São definidas como

\displaystyle  \left\{  \begin{array}{r}    u = r\sin\theta \\    pu' = r\cos\theta    \end{array}\right. 

Notem que \displaystyle r^2  = u^2 + (pu')^2  , de onde temos, devido a positividade de p , que r = 0 apenas se u=u'=0 . Porém, por se tratar de uma EDO (linear) de segunda ordem, caso tenhamos  u=u'=0 para algum x , a solução será a trivial. Assim, temos certeza que r\ne 0 para qualquer solução não trivial. Consequentemente, teremos também que os zeros de u(x) deverão corresponder a \theta(x) = n\pi .

Derivando-se as equações acima e usando-se a Eq. de Sturm-Liouville, tem-se

  \left\{  \begin{array}{r}\displaystyle    u' = \frac{r\cos\theta}{p} = r'\sin\theta + r\theta'\cos\theta\\    (pu')' = -Q_\lambda r\sin\theta = r'\cos\theta - r\theta'\sin\theta    \end{array}\right. 

Multiplicando-se a primeira equação por \sin\theta , a segunda por \cos\theta e somando-se as duas, temos

\displaystyle r' = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{p} - Q_\lambda \right) r\sin 2\theta  

Agora, multiplicando-se a primeira equação por \cos\theta , a segunda por -\sin\theta e somando-se, temos

\displaystyle \theta' = \frac{1}{p}\cos^2\theta + Q_\lambda \sin^2\theta  

Notem que esta equação, a qual chamaremos equação de Prüfer, é uma EDO de primeira ordem, não linear, e que não depende de r . Uma vez resolvida e tendo-se explicitamente a função \theta(x) , a equação para r pode ser integrada diretamente, obtendo-se

\displaystyle r(x) = A\exp\left(\frac{1}{2} \int\left( \frac{1}{p} - Q_\lambda \right)  \sin 2\theta    dx\right).

A constante de integração A é completamente arbitrária do ponto de vista do PSL. Na Mecânica Quântica, porém, ela é fixada a partir da normalização das autofunções.

Como vemos, o problema de Sturm-Liouville é agora equivalente a encontrar soluções para a equação de Prüfer com \theta(0)=0 e \theta(L)=n\pi . (Notem que há também uma arbitrariedade na escolha da condição para \theta(0)=0. Poderíamos ter escolhido \theta(0)=m\pi, com m<n, como veremos na discussão a seguir.) Vamos olhar com um pouco mais de cuidado a equação de Prüfer. Alguns resultados muito simples implicarão as três propriedades listadas acima. Notem, primeiro, que apesar de ser não linear, a equação de Prüfer é bastante bem comportada e pode-se facilmente garantir que todos os resultados usuais de existência e unicidade para suas soluções são válidos.

Primeiro, notem que se \theta = n\pi , temos da equação de Prüfer que \theta' = p^{-1}> 0 , já que se trata de um PSL regular.  Isto significa que uma solução \theta(x) da equação de Prüfer somente entrará na faixa n\pi \le \theta \le (n+1)\pi “vindo de baixo para cima”, como a solução mostrada na figura abaixo, que corresponde a um certo \lambda  fixo, com a condição inicial \theta(0)=0.

Em outras palavras, uma vez alcançada a faixa n\pi \le \theta \le (n+1)\pi, a solução da equação de Prüfer não pode abandoná-la voltando para uma faixa anterior.  Ao alcançar uma faixa, tem-se duas possibilidades, ou a solução passará à seguinte, eventualmente com partes decrescentes como na figura, ou chegará a fronteira x=L.  A solução em questão terá 3 zeros, correspondentes aos três pontos A,B e C nos quais a solução cruza as linhas horizontais \theta = \pi, 2\pi,3\pi.  Notem, porém, que essa solução NÃO é uma solução do PSL, pois não temos \theta(L)=n\pi , que implicaria em  u(L)=0 . Obviamente, teremos soluções do PSL para os valores de \lambda tais que \theta(L)=n\pi . Ocorre que podemos garantir sempre a existências desses valores \lambda (os autovalores)!

Para mostrar este resultados, vamos considerar uma outra solução da equação de Prüfer com \theta(0)=0 , mas para um caso com \lambda^*<\lambda . Um lema simples, que demonstraremos abaixo para não interromper esta discussão, garante que esta solução, \theta^*(x)  , é tal que \theta^*(x) < \theta(x) para 0 < x \le L . A figura abaixo ilustra esta situação.

Notem que para \lambda^*<\lambda , os pontos de cruzamento com as linhas horizontais \theta =n\pi são deslocados à direita, eventualmente com alguns dos pontos saindo da faixa 0\le x \le L , como o ponto que corresponderia a C’ na figura. Mais ainda, o comportamento das soluções da equação de Prüfer diante de variações em \lambda é contínuo, e isto também pode ser facilmente provado das propriedades elementares de EDOs.

Já temos todos os subsídios para provar as propriedades que queríamos. Vamos então prová-las uma a uma:

  1. Existe um estado fundamental (\lambda_0,u_0),  o estado de menor autovalor. 

    Do gráfico, infere-se que deve haver um \lambda_0 para o qual o ponto A será levado ao extremo do intervalo x=L. As soluções da equação de Prüfer para  \lambda<\lambda_0 não corresponderão a soluções do PSL, pois não satisfarão jamais a condição correta em  x=L. Portanto, \lambda_0 é o autovalor mínimo. Obviamente, este argumento supõe que existe uma solução como a da figura, uma solução que cruza algumas linhas \theta =n\pi e a partir da qual geramos os autovalores diminuindo  \lambda. . Ocorre que estas soluções sempre existem, vejam o item abaixo.

  2. O PSL admite infinitas soluções,  estas são de caráter discreto e podem ser ordenadas de acordo com seus autovalores, que são todos diferentes. 

    Da equação de Prüfer e do fato de que as funções na equação de SL serem todas suaves no intervalo, temos que sempre existirá um \lambda grande o suficiente para termos \theta' > 0  em todo o intervalo. Mais que isto (não é difícil provar, façam!), sempre pode-se escolher um \lambda grande o suficiente para alcançarmos quantas linhas \theta =n\pi quisermos. Dada uma solução deste tipo, pode-se facilmente gerar novos autovalores diminuindo-se e/ou aumentando-se o valor de \lambda a fim de termos a condição correta \theta(L) = n\pi no extremo do intervalo. Estes resultados provam a propriedade em questão. As soluções são infinitas, pois sempre existirá um \lambda grande o suficiente para alcançar a linha \theta =n\pi para qualquer n que quisermos. Os autovalores são discretos, pois correspondem aos valores de \lambda para os quais \theta(L) = n\pi , com n=0,1,2,\dots   . O lema que provaremos abaixo, o qual garante que o comportamento ilustrado na figura é genérico, garante também que os autovalores serão todos diferentes.

  3. Cada autofunção pode ser completamente caracterizado pelo seu número de nós (zeros no intervalo  (x_1,x_2) ), e ordenamento por número de nós corresponde ao mesmo ordenamento por autovalores. Em particular, o estado fundamental não  deve ter nenhum nó. 

    Este resultado decorre diretamente da figura. A n -ésima autofunção é aquela cujo autovalor \lambda é tal que \theta(L)  = n\pi . Está autofunção terá necessariamente n-1 zeros, correspondentes ao cruzamento das   n-1 linhas anteriores.

O lema da comparação

Trata-se do seguinte resultado, cuja aplicação ao nosso caso é imediata:

Sejam F(x,y) e  G(x,y) duas funções reais suaves definidas numa região \Omega \subset \mathbb{R}^2 , tais queF(x,y)\ge G(x,y) . Suponham agora que y(x) z(x) são funções tais que

\displaystyle y' = F(x,y), \quad z' = G(x,z)

em um intervalo x\in [a,b]\subset \Omega , com  y(a)\ge z(a) . Então, tem-se   y(x)\ge z(x) para todo x\in [a,b] .

Para provar este lema, notem que w(x) = z(x) - y(x) satisfará a equação

\displaystyle w' =   G(x,z(x)) -F(x,y(x))

Obviamente, temos

\displaystyle    G(x,z)-F(x,y) =\left( G(x,z) - G(x,y)\right)  -\left( F(x,y) - G(x,y)\right)

Pela hipótese do lema, o segundo termo entre parêntesis é não negativo, e portanto tem-se

\displaystyle w' \le   G(x,z(x)) - G(x,y(x))   \le M w  

sendo

\displaystyle  M =  \sup_{(x,y)\in\Omega} \partial_y G(x,y) .

Nossas exigências de suavidade das funções F(x,y) e  G(x,y) devem ser suficientes para garantir que M seja finito. Da desigualdade usual de Grönwall, temos que

\displaystyle w(x) \le w(a) e^{M(x-a)}  

Assim, se w(a) for negativo, w(x) será também negativo para todo o intervalo [a,b] . A única observação aqui é que o nosso caso corresponde exatamente a w(a) =0 , pois todas nossas soluções começam com \theta(0)=0 . Porém isto pode ser facilmente sanado considerando-se, para efeitos de comparação entre soluções, as condições não em x=0 , mas em um x=\varepsilon > 0 (façam!).

Mais referências

Algumas referências da aula de hoje. Comecemos com o problema do ganso, vejam foto abaixo

na qual Stanislaw Mazur presenteia o jovem Per Enflo com o ganso vivo… Este é um dos problemas do famoso Scottish book (sim, tem “i”). Os verbetes da wikipedia têm as principais referências sobre o problema e os protagonistas.

Sobre as questões das bases em espaços vetoriais de dimensão infinita, deem uma olhada neste post (e nos anteriores) do nosso curso de MA327 para o cursão. Aqui há uma discussão sobre a dificuldade de se exebir explicitamente uma base de Hamel.